简单理想情形下的Barrel distortion

Wed, 16 Nov 2022 22:37:16 +0800

Barrel distortion(桶形畸变)是一种成像画面呈桶形膨胀的畸变现象，通常在广角镜头下出现。最近在调试生态监测相机时就遇到了非常典型的桶形畸变，会影响到对于监测对象的定位精确性。

在SBM模型中引入上边界和指标权重

Wed, 07 Sep 2022 09:31:54 +0000

在实际应用SBM模型分析绿色发展效率的时候，发现面临着以下两个困难：

指标实际可取值具有上边界；
不同指标之间存在重要性差异。

于是对经典的非期望产出SBM模型进行了修改，以解决上述问题。📐

非期望产出SBM模型的数学推演及Python实现

Wed, 10 Aug 2022 23:00:38 +0000

带有非期望产出的SBM模型(slacks-based measure)可用于处理多个投入和产出变量的效率测度问题，可用于工业经济绿色发展效率的分析。在绿色发展分析中，需要同时考虑经济收益（期望产出）和负面环境效应（非期望产出）的问题，一方面要提高经济收益，另一方面需要减少污染排放，是投入、期望产出和非期望产出三方权衡的问题。1 这个帖子记录了和非期望产出SBM模型苦苦斗争一个星期的学习成果。数学原理 DEA模型/CCR模型 DEA SBM模型是数据包络分析(Data Envelopment Analysis, DEA)的一种。在DEA模型中，假定存在$n$个可比决策单元(decision making units, DMU)，记为$DMU_j(j=1,2,\dots,n)$；每个$DMU$有$m$种投入，记为$X_i(i=1,2,\dots,m)$，每种投入的权重为$v_i$；有$q$种产出，记为$Y_r(r=1,2,\dots,q)$，每种产出的权重为$u_r$. 对第$k$个可比决策单元而言，其投入产出比（技术效率）为 $$ H_k=\frac{\sum_{r=1}^qu_rY_{rk}}{\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}}， $$ 限定范围为$H_k\in[0,1]$. 现要求在所有可比决策单元的效率均不超过$1$的条件下，调节权重$[v_1,v_2,\dots,v_m]$和$[u_1,u_2,\dots,u_q]$，使得被评价的单元$DMU_k$效率值最大化。即如下规划模型： $$ \begin{aligned} \max&~~ z=\frac{\sum_{r=1}^qu_rY_{rk}}{\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}}\\ s.t.&~~ \frac{\sum_{r=1}^qu_rY_{rj}}{\sum_{i=1}^mv_iX_{ij}}\le1~ (v_i\ge0,u_r\ge0)\\ &~~ i=1,2,\dots,m;~r=1,2,\dots,q;~j=1,2,\dots,n \end{aligned} $$ 该模型所确定的权重系数组合是对于$DMU_k$最有利的。由于$\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}>0$，模型的规划条件即为 $$ s.t.~~\sum_{r=1}^qu_rY_{rj}-\sum_{i=1}^mv_iX_{ij}\le0; $$ 在上述线性规划模型中，所要求的是投入和产出项目的指标权重，在原始意义上就是$\vec u$和$\vec v$。模型指定了一个可比决策单元$DMU_k$，在规划过程中力求这个单元最终的效率评价达到最高。实际应用中，如何选择这个特殊的$DMU$必然会成为问题的关键。或许需要根据决策者的感性判断（或其他手段辅助），选定一个最优的决策单元，或者人为设置一个对照的“理想型”，将其视为效率最高的情形。投入导向CCR 令$t=\left(\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}\right)^{-1}$，则模型的目标函数为 $$ \max ~~ z=t\sum_{r=1}^qu_rY_{rk}=\sum_{r=1}^qtu_rY_{rk}, $$ 令$\mu_{r}=tu_r, \nu_{i}=tv_i$，根据$t$的定义可知$\sum_{i=1}^m\nu_iX_{ik}=1$；将规划条件两边同乘$t$，得到 $$ s.t. ~~ \sum_{r=1}^q\mu_{r}Y_{rj}-\sum_{i=1}^m\nu_{i}X_{ij}\le0. $$ 从而将非线性规划模型转换为线性规划模型： $$ \begin{aligned} \max &~~ z=\sum_{r=1}^q\mu_{r}Y_{rk}\\ s.t. &~~ \sum_{r=1}^q\mu_{r}Y_{rj}-\sum_{i=1}^m\nu_{i}X_{ij}\le0~(\mu_r\ge0, \nu_i\ge0)\\ &~~ \sum_{i=1}^m\nu_iX_{ik}=1\\ &~~ i=1,2,\dots,m;~r=1,2,\dots,q;~j=1,2,\dots,n \end{aligned} $$ 其对偶模型为（对偶模型求解过程见文末）

2022美赛纪念

Sun, 08 May 2022 23:10:55 +0000

前天中午得知美赛开奖，怀着忐忑的心态赶紧查了一下。得到了一张Honorable Mention的奖状。虽然算不上什么大奖，但终于给本科阶段的数学建模经历留下了一个印记。之前就一直想着，等到美赛彻底结束之后要开一个纪念帖。几经拖延，现在终于画上了句号。🐶

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简单理想情形下的Barrel distortion

在SBM模型中引入上边界和指标权重

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